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Verallgemeinerte Hopfian-Module überall

Akademien durchsuchen. Zum Hauptinhalt springen. Sie verwenden eine veraltete Version von Internet Explorer. Einloggen Anmelden. Über die Borsuk-Vermutung bezüglich der Homotopiedominanz. Witold Rosicki. Slawomir Kwasik. In der wegweisenden Monographie Theory of Retracts stellte Borsuk die folgende Frage: AT] 20. Oktober 2014 Sind sie Homotopie-Äquivalente? Das vorliegende Papier geht diese Frage auf zwei Arten an.

Zum einen bieten wir Bedingungen für die Grundgruppe, die eine positive Antwort auf die Borsuk-Frage garantieren. Auf der anderen Seite konstruieren wir verschiedene Beispiele für kompakte h-gleiche, nicht homotopieäquivalente Kontinua mit unterschiedlichen Eigenschaften. Die erste Klasse dieser Beispiele hat trivial alle bekannten algebraischen Invarianten wie Homologie, Homotopiegruppen usw. Insbesondere wenn X eine Homotopie ist, die Y äquivalent ist, d.h. X 'Y, dann sind sie h - gleich.

Um Borsuk [5] zu paraphrasieren, kann die erste wie folgt ausgedrückt werden: Beide Fragen werden weniger schwierig, wenn die Kompaktheitsbedingung gelockert wird, dann ist die Antwort auf die erste Frage positiv [17] und für die zweite negativ [20]. . Problem 1 wurde als Borsuk-Vermutung bekannt und stieß auf großes Interesse. C. Im Gegensatz dazu wurden bei der zweiten Frage im Laufe der Jahre überraschend wenig Fortschritte erzielt: Eines der Ziele des vorliegenden Papiers ist es, das Interesse an Problem 2 zu erneuern.

22. Oktober 2014. Der zweite Autor erkennt die Unterstützung des Simons Foundation Grant No. an. Im ersten Teil machen wir einige Kommentare zur Rolle der Grundgruppe in Problem 2. In Analogie zu Hopfian-Gruppen definieren wir einen Begriff von a Hopfian-Paar für h - gleiche Räume und machen den folgenden Beobachtungssatz 1. Als Ergebnis erhalten wir das folgende, das Kolodziejczyk zuvor in [15] beobachtet hat. Folgerung 1. Im zweiten Teil konstruieren wir, inspiriert von den Konstruktionen von [13] und [20], zweidimensionale Kontinua, die h-gleich, aber nicht homotopieäquivalent sind, siehe Satz 3.

Um zu beweisen, dass die Räume nicht homotopieäquivalent sind, ist daher ein direkterer Ansatz über Techniken der satztheoretischen Topologie erforderlich. Weiter in Satz 3. Hopfsche Paare. Wir erinnern uns, dass eine endlich präsentierte Gruppe G Hopfian heißt, wenn jeder Epimorphismus h: Analog ist bei einem Ring R ein endlich erzeugtes R-Modul M Hopfian, wenn irgendein Modul-Epimorphismus h: Sei X und Y ein Paar von h - gleiche Räume, dann gibt es aus der Definition Karten f: Definition 2.

Lassen Sie uns der Einfachheit halber Satz 1 wiederholen. Beachten Sie, dass es im obigen Satz ausreicht, nur einen der Räume X oder Y als ANR anzunehmen, und das Ergebnis von Milnor [17] impliziert, dass die andere Raumhomotopie dominiert von ersteren ist auch eine ANR, bis zur Homotopie. Wenn X und Y h - gleich sind, müssen sie wiederum ein Hopfian-Paar sein, was Folgerung 1 impliziert. Die Klasse der Hopfian-Gruppen ist erheblich größer als die polyzyklisch-endlichen Gruppen.

Insbesondere ist die folgende Frage eine schwächere Form von Problem 2. Frage 2. Ist X, Y ein Hopfian-Paar? Das folgende Beispiel, das sich an den Ergebnissen von [2, 10] orientiert, veranschaulicht die heikle Natur der obigen Frage. Beispiel 2. Es ist zu beachten, dass die Kommutator-Untergruppe [G, G] von G isomorph zu F2 ist, d.h.

Nun sei M n eine geschlossene n-dimensionale Mannigfaltigkeit und Y ein beliebiger Raum, siehe Bemerkung 2. Satz 2. Angenommen, X ist eine Homologie-Mannigfaltigkeit der formalen Dimension n, d.h. Folgerung 2. Erinnern Sie sich daran, dass die bekannte Vermutung besagt, dass endlich dimensionale homogene ANRs Homologie-Mannigfaltigkeiten sind [8]. Es ist klar, dass Verteiler lokal isotopisch sind. Angenommen, X ist ein kompakter endlichdimensionaler ANR-Raum, der lokal isotopisch ist. Nach Satz 4. erhalten wir daher Folgerung 2. Dann ist X, Y ein Hopf'sches Paar.

Wenn X ein kompakter H-Raum ist, gilt eindeutig die obige homologische Bedingung. Wenn sowohl G als auch H endlichdimensional sind, d.h. Eine positive Antwort auf diese Frage würde Gegenbeispiele zu Problem 2 geben, nämlich K G; 1 und K H; 1. Der Rest dieses Papiers ist der Konstruktion kompakter Beispiele mit bestimmten Eigenschaften gewidmet, wie in der Einleitung, Abschnitt 1 beschrieben. Betrachten Sie zunächst einen Doppelbesen B, wie in Abbildung 1 dargestellt.

B ist ein bekannter Raum, der nicht kontrahierbar ist, aber alle trivial bekannten algebraischen Invarianten wie Homologie und Homotopiegruppen usw. aufweist. Eine Ausnahme bilden die folgenden Fälle: Definition 3. Lemma 3. Angenommen, f: Dann jede Homotopie ft: Topologischer Besen mit B bezeichnet, mit dem Mittelpunkt v.

Lage des Punktes u und seiner Nachbarschaft U, wie im Beweis von Lemma 3. Beweisskizze. Folgerung 3. Es ist leicht auszuschließen, dass andere Punkte in B homotopisch festgelegt sind, mit Ausnahme von möglicherweise a0 und b0.

X gx, y Y: Die Scheibe H wird durch Anbringen von Besen B Fig. 1 entlang der Grenze der Einheitsscheibe D2 in R2 wie folgt konstruiert: c. Fügen Sie jedem Punkt eine Kopie von B am homotopisch festen Punkt v hinzu, so dass sich die Zwischenräume nicht schneiden und 1Wir wählen den Besen B gegenüber dem in [13] konstruierten, um einige Argumente dieses Abschnitts zu vereinfachen.

Als nächstes bezeichnen Sie mit c die Mitte der Scheibe D2 in D. Unendliche Keilprodukte von haarigen Scheiben: In der Tat gibt es Rückzüge rWH: Der Rückzug rWBH kann nun als gleich rB für den ersten Faktor von WH und Identität für die verbleibenden Faktoren definiert werden . Das Hauptergebnis dieses Unterabschnitts kann nun wie folgt angegeben werden: Satz 3. Beide Paare: Der Beweis basiert auf den verschiedenen Deckspelzen. Nach Lemma 3. Da keiner der inneren Punkte in D2 homotopisch fixiert ist und für jeden Bmk-Faktor von H mk der einzige homotopisch fixierte Punkt nach Lemma 3 ist.

Dies impliziert sofort Identitäten in 3. WH und WBH. Wir werden die erste Aufnahme in 3 beweisen. Beachten Sie, dass es ausreicht, für jedes k zu beweisen: Beachten Sie, dass für die zweite Aufnahme in 3.

S Um 3 zu beweisen. Wir bezeichnen diesen Faktor weiter mit B, d.h. Beobachtung 3. Dies führt jedoch zu einem Widerspruch zu 3. Bei gegebener Homotopieäquivalenz f: Bei Einpunkt-Kompaktifizierungen: WH und WBH sind Punkte im Unendlichen homotopisch festgelegt, daher folgt die Aussage analog. Unendliche Keile von Produkten aus n-Kugeln. Für beliebig hoch verbundene Beispiele folgen wir einem ähnlichen Muster wie im vorherigen Abschnitt.

Sowohl S0 als auch S1 sind in der durch die Einbettung induzierten Topologie kompakt. Der offensichtliche Rückzug rS: Ein Rückzug rS0:

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